Normal Dağılım
Doç. Dr. Haluk Berkmen
Dünkü yazımda bir Higgs parçacığının varlığını kanıtlayan CERN deneyinde parçacığın enerjisinin 126 GeV etrafında “Normal Dağılım” gösterdiğini söyledim. Bu yazımda Normal Dağılımın ne olduğunu anlatacağım. Dağılım sözü bir grup verinin ortalama değere olan yakınlığını veya uzaklığını belirtir. Örneğin bir sınıfta bulunan öğrencilerin boylarını ölçersek belli bir ortalama boy ölçüsü etrafında dağılım gösterdiklerini görürüz. Veya bu öğrencilere zekâ testi uygulasak gene çıkan sonuçların belli bir IQ değeri etrafında dağılım gösterdiklerini buluruz. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) astronomik verileri incelerken bu tür bir dağılım ile karşılaşmış ve onun adına atfen Normal dağılıma Gauss Dağılımı da denmektedir. Normal dağılımı grafik olarak gösterdiğimizde bir çan görüntüsü belirdiğinden adına Çan Eğrisi de denmektedir. Altta solda Normal Dağılımın grafiği görülmektedir.
Ortadaki yeşil bölge normal dağılımın ortalama bölgesidir. Ortalama tanımı tepe noktasından iki yönde birer “Standard Sapma” ile belirlenmiş alandır. Bu bölge tüm grubun % 68,3 ünü içerir. Yani, herhangi bir grubun üye sayısının yaklaşık üçte ikisi ortalamayı oluşturur. Ortalamadan 3 standart sapma uzakta bulunanlar tüm grubun % 99,7 si olduğu görülmektedir. CERN deneyinde parçacığın varlığını kanıtlamak için 5 standart sapmaya kadar veri alınmıştır. Normal Dağılımı bir topluma da uygulayabiliriz. Uyumlu ve homojen bir toplumda insanlar ortalama bir dünya görüşü ve gerçeklik tanımı etrafında birleşirler. Dünya görüşünden kasıt, o dönemde ve toplumda kabul görmüş olan bilimsel kuramlar ve inançlar olmaktadır. Bu inanç ve varsayımların toplamı günün “paradigma’sını” oluşturur. Ne bilimsel kuramlar ne de inançlar kesin ve değişmez doğrular değildir. Belli sayıda insan tarafından kabul görmeleri ve varsayılmaları yeterlidir. Günümüzde ‘medya’ denen iletişim ortamları bu görevi mükemmel bir şekilde yerine getirmekte, insanları belli inançlar ve görüşler çerçevesinde şartlayarak “beyin yıkama” görevini bilerek veya bilmeyerek yerine getirmektedirler. Toplumun % 68’i belli bir görüş etrafında birleştiğinde bu görüş “gerçek” haline dönüşür. Ortalama görüşün oluşması için toplumun % 68’ini ikna etmek yeterlidir. Onun için: “Bir yalan 100 kere tekrarlanırsa doğru olur” denmiştir. Ortalama gerçeğe karşı çıkanlara da ‘marjinal’’ kenarda kalmış, toplum dışı muamelesi yapılır. Onlara çeşitli maddi ve manevi baskılar uygulanır. Oysaki gerçek demokratik bir toplumda marjinal (ortalama görüşe katılmayan) grupların haklarına da saygı duyulmalıdır. Bilimde ve sanatta çığır açanlar, hep “marjinal” olanlar, ortalama görüşe ters düşünen kişiler olmuştur.
Normal dağılımı deneysel olarak göstermiş olan Francis Galton (1822 – 1911) alttaki resimde sağda görülen düzeneği kurmuştur. Bu düzenekte yatay ve dikey iki tahtaya çakılmış çiviler ve önde şeffaf bir cam bulunur. Üste yerleştirilen bir huniden bilyeler düşürüldüğünde, çivilerin oluşturdukları aralıklara düşerler. Bilyeler bir süre sonra çan eğrisine yakın bir dağılım oluştururlar. Eğer bilye sayısı fazla değilse oluşan dağılıma “Binom Dağılımı” denir. Bilye sayısı arttıkça dağılım gittikçe Normal Dağılıma benzemeye başlar. Binom dağılımının kökenini “Pascal Üçgeni” oluşturur. Blaise Pascal (1623-1662) matematik ve geometri konularında deha denecek bir zekâ sahibi idi. Pascal “Olasılık Hesabı”nın kurucusu sayılır. Pascal üçgenini altta ortada görüyoruz. İlk satırda sadece “1” vardır. İkinci satırda iki adet “1” görülüyor. Yani teklikten ikilik ortaya çıkıyor. Ondan sonraki satırlarda her sayı üstteki iki sayının toplamıdır. Her satırdaki sayıların toplamı ise 2’nin kuvvetleri olarak belirir. Bu durumu 2 üzeri n (2^n) olarak belirtebiliriz. Satırlardaki sayılardan oluşan, 1, 1-1, 1-2-1, 1-3-3-1 şeklindeki diziye “Binom Serisi” deniyor. Binom serisinin en genel şeklini (x+y)^n olarak belirtmek mümkündür. Bir örnek olarak n = 3 için yukarıdaki ifadenin açılımı:
(x+y)^3= y^3+3x(y^2)+3(x^2)y+x^3
olup, x= y= 1 için: 1, 3, 3, 1 katsayıları ortaya çıkar. Bu katsayılar Pascal üçgenindeki üçüncü satırda oluşan sayılardır. Evrende Pascal üçgeni önemli rol oynar. Her görünen var olanın oluşumundan önce sadece 1 (Bir) vardı. Bu bütünsel ve bölünmez 1’e “ehad” denir. Ardından “ehad” kendini kopyalayarak 2 oldu ve evrende “düalite” belirdi. “Ehad” birlerin toplamı değil, vahdetin birliğidir. Vahdet kendini belli bir kurala göre kopyalayıp çoğalınca “kesret” (çokluk) oluştu. Onun için evrende “doğa yasaları” vardır. Doğa yasalarına “çokluğun kuralları” da denebilir.
